ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58140
Темы:    [ Сумма Минковского ]
[ Свойства симметрии и центра симметрии ]
Сложность: 5
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что выпуклый многоугольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда его можно представить в виде суммы нескольких отрезков.

Решение

Если I1, ..., In — отрезки, расположенные на плоскости, а O1, ..., On — их середины, то многоугольник $ \lambda_{1}^{}$I1 + ... + $ \lambda_{n}^{}$In симметричен относительно точки $ \lambda_{1}^{}$O1 + ... + $ \lambda_{n}^{}$On.
Рассмотрим теперь выпуклый многоугольник A1...A2n с центром симметрии O. Перенесём отрезки A1A2, A2A3, ..., AnAn + 1 параллельно так, чтобы их середины попали в точку O. Увеличим эти отрезки в n раз, оставив их середины неподвижными. Пусть I1, ..., In — полученные отрезки. Тогда сумма $ {\frac{1}{n}}$I1 + ... + $ {\frac{1}{n}}$In — исходный многоугольник.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 22
Название Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер 4
Название Сумма Минковского
Тема Сумма Минковского
задача
Номер 22.012B7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .