Информация о задаче

Задача 58137

Тема:

[

Сумма Минковского

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Пусть S₁ и S₂ — площади многоугольников M₁ и M₂. Докажите, что площадь S( $\lambda_{1}^{}$ , $\lambda_{2}^{}$ ) многоугольника $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ равна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$ S₁ + 2 $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ S₁₂ + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$ S₂,

где S₁₂ зависит только от M₁ и M₂.

Решение

Выберем внутри многоугольника M_i точку O_i и разрежем его на треугольники с вершиной O_i; многоугольник $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ разрежем на треугольники с вершиной O = $\lambda_{1}^{}$ O₁ + $\lambda_{2}^{}$ O₂. Снова, как и в решении задачи 22.12B3, возьмём прямую l и рассмотрим отрезки, по которым прямая l пересекает M₁ и M₂ в первые моменты соприкосновения. Пусть a₁ и a₂ — длины этих отрезков. Паре треугольников с основаниями a₁ и a₂ и высотами h₁ и h₂ соответствует треугольник с основанием $\lambda_{1}^{}$ a₁ + $\lambda_{2}^{}$ a₂ и высотой $\lambda_{1}^{}$ h₁ + $\lambda_{2}^{}$ h₂. Остается заметить, что

( $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ a₁ + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ a₂)( $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ h₁ + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ h₂) = $\displaystyle \lambda_{1}^{2}$ a₁h₁ + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ (a₁h₂ + a₂h₁) + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$ a₂h₂.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	4
Название	Сумма Минковского
Тема	Сумма Минковского
задача
Номер	22.012B4