|
|
 |
Условие
Брат и сестра делят треугольный торт так: он указывает точку на торте, а она проводит через эту точку прямолинейный разрез и выбирает себе кусок. Каждый хочет получить кусок как можно больше. Где брат должен поставить точку? Какую часть торта получит в этом случае каждый из них?
Решение
Лемма. Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда
а) прямая, параллельная стороне треугольника и проходящая через точку M, разбивает его на треугольник и трапецию, отношение площадей которых равно 4 : 5;
б) любая другая прямая, проходящая через точку M, разбивает его на части, отношение площадей которых больше 4/5.
Доказательство. а) Такая прямая отсекает треугольник, гомотетичный ABC с коэффициентом 2/3.
б) Если рассматриваемая прямая проходит через вершину треугольника, то отношение площадей частей, на которые она делит треугольник, равно 1, и утверждение справедливо.
Проведём теперь через точку M прямую FG, находящуюся в "промежуточном положении" между прямой DE, параллельной стороне AB, и прямой AA1, содержащей медиану треугольника (рис. слева). Докажем, что
Для этого проведём через точку D прямую, параллельную BC. Её точки пересечения с прямыми FG и AA1 обозначим K и L соответственно. Отрезок DE делится точкой M пополам. Поэтому треугольники DKM и EGM равны. Значит, SFDM > SKDM = SEGM. Отсюда SFGC = SDEC + SFDM – SEGM > SDEC.
Аналогично равны треугольники KLM и GA1M. Поэтому
Из леммы следует, что если брат укажет на торте точку пересечения медиан, то тем самым добьётся, что сестра получит не более 5/9 торта.
Докажем теперь, что независимо от указанной братом точки, сестра сможет отрезать себе не менее 5/9 торта. Проведём для этого через точку O, указанную братом, три прямые, параллельные сторонам треугольника (рис. справа). Каждая из них разбивает треугольник на треугольник и трапецию. Три полученные трапеции целиком покрывают исходный торт-треугольник. Поэтому по крайней мере одна из них содержит его точку пересечения медиан. Из леммы следует, что площадь этой трапеции не меньше 5/9 площади всего торта. Эту трапецию она и должна отрезать для себя.
Ответ
В точке пересечения медиан торта. Брат – 4/9, сестра – 5/9 торта.
Замечания
Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.
