Каталог по темам

Задачи

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 331]

Задача 78257

Тема:

[

Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства

]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В квадрате ABCD на стороне AB взята точка P, на стороне BC — точка Q, на стороне CD — точка R, на стороне DA — S; оказалось, что фигура PQRS — прямоугольник. Доказать, что тогда прямоугольник PQRS — либо квадрат, либо обладает тем свойством, что его стороны параллельны диагоналям квадрата.

Прислать комментарий Решение

Задача 98148

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Седракян Н.

В квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).
Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не менее чем 499 из этих треугольников.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111696

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Из точки M окружности, описанной около прямоугольника ABCD, опустили перпендикуляры MQ и MP на две его противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115775

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Теорема Паскаля	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Дан прямоугольник ABCD и точка P. Прямые, проходящие через A и B и перпендикулярные, соответственно, PC и PD, пересекаются в точке Q.
Докажите, что PQ ⊥ AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116565

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Шмаров В.

На окружности, описанной около прямоугольника ABCD, выбрана точка K. Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в такой точке M, что
AM : MD = 2. Пусть O – центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на описанной окружности треугольника COD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 331]