ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      



Задача 116832

Темы:   [ Центр масс ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
[ Правильные многоугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.

б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник  (n > 2),  его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53697

Темы:   [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Два квадрата ABCD и KLMN расположены так, что вершины B, C, K и N лежат на одной прямой, а четыре оставшиеся расположены по разные стороны от BC и лежат на одной окружности. Известно, что сторона одного из квадратов на 1 больше стороны другого. Найдите расстояние от центра окружности до прямой BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66355

Темы:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Пусть R1, R2 и R3 – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что  1/R1 + 1/R2 + 1/R31/r,  где r – радиус вписанной окружности этого треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 103932

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P.
Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116071

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9

Cерединные перпендикуляры к сторонам BC и AC остроугольного треугольника ABC пересекают прямые AC и BC в точках M и N. Пусть точка C движется по описанной окружности треугольника ABC, оставаясь в одной полуплоскости относительно AB (при этом точки A и B неподвижны). Докажите, что прямая MN касается фиксированной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .