Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
В прямоугольной таблице m строк и n столбцов (m < n). В некоторых клетках таблицы стоят звёздочки, так что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что существует хотя бы одна такая звёздочка, что в одной строке с нею находится больше звёздочек, чем с нею в одном столбце.
РешениеКакое минимальное количество точек на поверхности
а) додекаэдра,
б) икосаэдра
надо отметить, чтобы на каждой грани была хотя бы одна отмеченная точка?
РешениеСколько существует таких пар натуральных чисел (m, n), каждое из которых не превышает 1000, что
РешениеДана 61 монета одинакового внешнего вида. Известно, что две из них – фальшивые, что все настоящие одинакового веса, что фальшивые – тоже одинакового веса, отличающегося от веса настоящих монет. Но неизвестно, в какую сторону отличаются веса фальшивых монет от настоящих. Как можно это узнать с помощью трёх взвешиваний на двухчашечных весах без гирь? (Определить фальшивые монеты не требуется.)
РешениеОтмечено 100 точек – N вершин выпуклого N-угольника и 100 – N точек внутри этого N-угольника. Точки как-то обозначены, независимо от того, какие являются вершинами N-угольника, а какие лежат внутри. Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре – на двух параллельных прямых. Разрешается задавать вопросы типа: чему равна площадь треугольника XYZ (X, Y, Z – из числа отмеченных точек). Докажите, что 300 вопросов достаточно, чтобы выяснить, какие точки являются вершинами N-угольника, и чтобы найти его площадь.
Решение
|
|
 |
Условие
а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.
б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник (n > 2), его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.
Решение
Если точка A совпадает с центром O окружности, то утверждение очевидно. В противном случае докажем, что центр масс – это середина отрезка OA.
а) Прямые высекают две перпендикулярные хорды. У каждой хорды центр масс ее концов – середина этой хорды. Если одна из хорд – диаметр, то середина другой совпадает с A, поэтому центр масс – середина OA. Если обе хорды – не диаметр, то пусть B и C – их середины. Тогда OABC – прямоугольник, и центр масс – середина BC, которая совпадает с серединой OA.
б) Соединив точки с A, получим n хорд, образующих с соседними равные углы 180°/n. Центр масс концов хорд совпадает с центром масс середин этих хорд. Середины указанных хорд лежат в вершинах правильного многоугольника, вписанного в окружность с диаметром OA (см. задачу 56549). Значит, их центр масс – это центр этой окружности, то есть – середина OA.
Замечания
баллы: 4 + 4
