Задача 66355

Темы:    [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Пусть R₁, R₂ и R₃ – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что  ¹/_R1 + ¹/_R2 + ¹/_R3 ≤ ¹/_r,  где r – радиус вписанной окружности этого треугольника.

Решение

  Рассмотрим треугольник АВС и одну из указанных окружностей, которая проходит через вершину В и касается стороны АС в точке D (см. рис.). Её диаметр не меньше, чем хорда BD, которая, в свою очередь, не меньше высоты ВН треугольника.

  Таким образом,  ¹/_2R1 + ¹/_2R2 + ¹/_2R3 ≤ ¹/_h1 + ¹/_h2 + ¹/_h3,  где h_i – высоты треугольника. Осталось воспользоваться равенством  ¹/_h1 + ¹/_h2 + ¹/_h3 = ¹/_r,  в справедливости которого легко убедиться, умножив обе части этого равенства на 2S_ABC.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2017/18
класс
Класс	11
задача
Номер	11.3.2