В равнобедренном треугольнике ABC  ∠B = 120°.  Найдите общую хорду описанной окружности треугольника ABC и окружности, проходящей через центр вписанной окружности и основания биссектрис углов A и C, если  AC = 1.

   Решение

В турнире по гандболу участвуют 20 команд. После того как каждая команда сыграла с каждой по разу, оказалось, что количество очков у всех команд разное. После того как каждая команда сыграла с каждой по второму разу, количество очков у всех команд стало одинаковым. В гандболе за победу команда получает 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение — 0 очков. Верно ли, что найдутся две команды, по разу выигравшие друг у друга?

   Решение

Докажите следующий вариант формулы Бине:  

   Решение

Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.

   Решение

На доске записаны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остаются два числа. Если их сумма делится на 3, то побеждает тот, кто делал первый ход, если нет – то его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре?

   Решение

Через две точки, лежащие в круге, провести окружность, лежащую целиком в том же круге.

   Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 988]      

Две окружности пересекаются в точках A и B. В каждой из этих окружностей проведены хорды AC и AD, причём хорда одной окружности касается другой окружности. Найдите AB, если  CB = a,  DB = b.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что площадь треугольника ODC (O – точка пересечения диагоналей) есть среднее пропорциональное между площадями треугольников BOC и AOD. Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям.
Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри трапеции, если основания трапеции равны a и b.

Прислать комментарий

Решение

Точки K и M лежат на сторонах AB и BC треугольника ABC, причём  AK : BK = 3 : 2,  BM : MC = 3 : 1.  Через точку B проведена прямая l, параллельная AC. Прямая KM пересекает прямую l в точке P, а прямую AC в точке N. Найдите BP и CN, если  AC = a.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC. На продолжении стороны AC за точку C взята точка N, причём  CN = ²/₃ AC.  Точка K находится на стороне AB, причём  AK : KB = 3 : 2.
В каком отношении прямая KN делит сторону BC?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 988]