Каталог по темам

Задачи

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 421]

Задача 107992

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Владимиров А.А., Измайлов Р.Н.

Для каждой пары действительных чисел a и b рассмотрим последовательность чисел p_n = [2{an + b}]. Любые k подряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длины k будет словом последовательности, заданной некоторыми a и b при k = 4; при k = 5?

Примечание: [c] - целая часть, {c} - дробная часть числа c.

Прислать комментарий Решение

Задача 109599

Темы:	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Последовательности (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Голованов А.С.

Докажите, что для любого натурального числа a₁ > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ...,
что делится на a₁ + a₂ + ... + a_k при всех k ≥ 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109834

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Подлипский О.К.

Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.
Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35575

Темы:	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Дана выпуклая фигура и точка A внутри нее. Докажите, что найдется хорда (т.е. отрезок, соединяющий две граничные точки выпуклой фигуры), проходящая через точку A и делящаяся точкой A пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 66202

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Итерации	]
	[	Двоичная система счисления	]
	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Толпыго А.К.

Дано иррациональное число α, 0 < α < ½. По нему определяется новое число α₁ как меньшее из двух чисел 2α и 1 – 2α. По этому числу аналогично определяется α₂, и так далее.
а) Докажите, что α_n < ³/₁₆ для некоторого n .
б) Может ли случиться, что α_n > ⁷/₄₀ при всех натуральных n?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 421]