ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 72]      



Задача 65179

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Найдите все строго возрастающие последовательности натуральных чисел a1, a2, ..., an, ..., в которых  a2 = 2  и  anm = anam  для любых натуральных n и m.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65603

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Инварианты ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7,8

На конкурсе "А ну-ка, чудища!" стоят в ряд 15 драконов. У соседей число голов отличается на 1. Если у дракона больше голов, чем у обоих его соседей, его считают хитрым, если меньше, чем у обоих соседей, – сильным, остальных (в том числе стоящих с краю) считают обычными. В ряду есть ровно четыре хитрых дракона – с 4, 6, 7 и 7 головами и ровно три сильных – с 3, 3 и 6 головами. У первого и последнего драконов голов поровну.
  а) Приведите пример того, как такое могло быть.
  б) Докажите, что число голов у первого дракона во всех примерах одно и то же.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66028

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечётными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трёх карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались, и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, кратным 210000. Докажите, что число, кратное 210000, было на одной из карточек уже через день после начала.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78269

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Доказать, что для любых трёх бесконечных последовательностей натуральных чисел

a1... an ...
b1... bn ...
c1... cn ...

найдутся такие номера p и q, что

ap$\displaystyle \ge$aq, bp$\displaystyle \ge$bq, cp$\displaystyle \ge$cq.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79475

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Частичные, верхние и нижние пределы ]
Сложность: 4-
Классы: 9

За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 72]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .