ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65179
Темы:    [ Последовательности (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все строго возрастающие последовательности натуральных чисел a1, a2, ..., an, ..., в которых  a2 = 2  и  anm = anam  для любых натуральных n и m.


Решение

  Последовательность  аn = n,  очевидно, удовлетворяет условию.
  Предположим, что есть какая-то другая последовательность. Так как  a1 < a2,  то  a1 = 1.  Ясно, что  ann.  Рассмотрим наименьшее n, при котором  аn > n.  Если  n = 2m,  то  аn = a2am = 2m = n.  Если же  n = 2m + 1  (m ≥ 1),  то  n < аn < an+1 = a2m+2 = a2am+1 = 2(m + 1) = n + 1,  то есть целое число аn находится между n и  n + 1.
  В обоих случаях мы пришли к противоречию.


Ответ

аn = n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2014/15
класс
Класс 10
задача
Номер 10.4.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .