ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 70]      



Задача 98181

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

На доску последовательно записываются натуральные числа. На n-м шаге (когда написаны числа  a1, a2, ..., an–1)  пишется любое число, которое нельзя представить в виде суммы  a1k1 + a2k2 + ... + an–1kn–1,  где ki – целые неотрицательные числа (на a1 никаких ограничений не накладывается). Доказать, что процесс написания чисел не может быть бесконечным.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98589

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

В бесконечной последовательности натуральных чисел каждое следующее число получается прибавлением к предыдущему одной из его ненулевых цифр.
Докажите, что в этой последовательности найдётся чётное число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98607

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Четность и нечетность ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В последовательности натуральных чисел каждое число, кроме первого, получается прибавлением к предыдущему самой большой его цифры.
Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности могут быть нечётными?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109804

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Последовательность неотрицательных рациональных чисел a1, a2, a3, ... удовлетворяет соотношению  am + an = amn  при любых натуральных m, n.
Докажите, что не все её члены различны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110036

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Ограниченность, монотонность ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

По данному натуральному числу a0 строится последовательность {an} следующим образом     если an нечётно, и a0/2, если an чётно. Докажите, что при любом нечётном  a0 > 5  в последовательности {an} встретятся сколь угодно большие числа.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 70]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .