ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 77]      



Задача 115366

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Семь лыжников с номерами 1, 2, ... , 7 ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый лыжник ровно дважды участвовал в обгонах. (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.) По окончании забега должен быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться не более двух различных протоколов.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107999

Темы:   [ Итерации ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Поворот на $90^\circ$ ]
[ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Разрывы функций ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

а) Известно, что область определения функции  f(x)  – отрезок  [–1, 1]  и  f(f(x)) = – x  при всех x, а её график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график такой функции f(x).

б) Можно ли это сделать, если область определения функции – интервал  (–1, 1)?  Вся числовая ось?

Прислать комментарий     Решение

Задача 107836

Темы:   [ Теорема Виета ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Даны такие действительные числа  a1a2a3  и  b1b2b3,  что

a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3,   a1a2 + a2a3 + a1a3 = b1b2 + b2b3 + b1b3.
Докажите, что если  a1b1,  то  a3b3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109152

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Сколько корней имеет уравнение sin x=x/100 ?
Прислать комментарий     Решение


Задача 111694

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Центральная симметрия (прочее) ]
[ Монотонность и ограниченность ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение  P(m) + P(n) = 0  имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика  y = P(x)  есть центр симметрии.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 77]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .