Задача 109668
|
|
 |
Условие
Прямые, параллельные оси Ox, пересекают график функции y = ax³ + bx² + cx + d: первая – в точках A, D и E, вторая – в точках B, C и F (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги CD на ось Ox равна сумме длин проекций дуг AB и EF.
Решение
Из рисунка видно, что a > 0. Если y = p и y = q – уравнения заданных прямых, то абсциссы точек A, D и E – корни x1 < x2 < x3 уравнения
ax³ + bx² + cx + d – p = 0, а точек B, C и F – корни X1 < X2 < X3 уравнения aX³ + bX² + cX + d – q = 0. По теореме Виета x1 + x2 + x3 = X1 + X2 + X3. Отсюда x2 – X2 = (X1 – x1) + (X3 – x3), что и требовалось.
