Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]

Задача 35377

Темы:	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Существуют ли такие 100 квадратных трёхчленов, что каждый из них имеет два корня, а сумма любых двух из них корней не имеет?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79396

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Неравенства с модулями	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Ненашев С.

Натуральные числа a₁, a₂, ..., a_n таковы, что каждое не превышает своего номера (a_k ≤ k) и сумма всех чисел – чётное число.
Доказать, что одна из сумм a₁ ± a₂ ± ... ± a_n равна нулю.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116773

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Раскраски	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Авторы: Богданов И.И., Сухов К.

Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть l – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка I, параллельного l, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число C (зависящее только от прямой l) такое, что все полученные разности не превосходят C.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64771

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Иванов Г.

В сейфе n ячеек с номерами от 1 до n. В каждой ячейке первоначально лежала карточка с её номером. Вася переложил карточки в некотором порядке так, что в i-й ячейке оказалась карточка с числом a_i. Петя может менять местами любые две карточки с номерами x и y, платя за это 2|x – y| рублей. Докажите, что Петя сможет вернуть все карточки на исходные места, заплатив не более |a₁ – 1| + |a₂ – 2| + ... + |a_n – n| рублей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78568

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Дана последовательность ..., a_-n,..., a_-1, a₀, a₁,..., a_n,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен ${\frac{1}{4}}$ суммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]