ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116773
Темы:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Раскраски ]
[ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть l – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка I, параллельного l, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число C (зависящее только от прямой l) такое, что все полученные разности не превосходят C.


Решение

  Лемма. Раскрасим клетки плоскости в два цвета: нечётные столбцы в зелёный цвет, а чётные – в жёлтый. Тогда для любого отрезка, параллельного прямой l, разность сумм длин его зелёных и жёлтых участков не превосходит некоторого числа D, зависящего только от l.
  Доказательство. Прямая l разбивается вертикальными сторонами клеток на отрезки одинаковой длины; обозначим эту длину через L. Тогда для любого отрезка длины 2L, параллельного l, суммы длин его зелёных и жёлтых частей равны L. Любой отрезок, параллельный l, разбивается на такие отрезки и остаток длины, меньшей 2L; поэтому разность сумм длин его зелёных и жёлтых частей не превосходит 2L.

  Раскрасим все чёрные клетки в розовый и голубой цвета так, чтобы розовые клетки были в тех же столбцах, что и красные, а голубые – в тех же, что и синие (см. рис.).

  Рассмотрим любой отрезок, параллельный l, и обозначим через r, b, r', b' суммы длин его красных, синих, розовых и голубых частей, соответственно. Тогда по лемме существуют такие числа D1, D2, зависящие только от l, что  |(r + r') – (b + b')| ≤ D1,  |(r + b') – (r' + b)| ≤ D2.  Значит,
2|r – b| = |(r + r') – (b + b') + (r + b') – (r' + b)| ≤ |(r + r') – (b + b')| + |(r + b') – (r' + b)| ≤ D1 + D2.

Замечания

На самом деле в лемме можно положить  D = L.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 5
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .