Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Теория чисел. Делимость
>>
Арифметические функции
>>
Количество и сумма делителей числа
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
В набор "Юный геометр" входит несколько плоских граней, из которых можно собрать выпуклый многогранник. Юный геометр Саша разделил эти грани на две кучки. Могло ли случиться, что из граней каждой кучки тоже можно собрать выпуклый многогранник?
(И в начале, и в конце каждая из граней набора должна являться гранью многогранника.)
РешениеВ гоночном турнире 12 этапов и n участников. После каждого этапа все участники в зависимости от занятого места k получают баллы ak (числа ak натуральны, и a1 > a2 > ... > an). При каком наименьшем n устроитель турнира может выбрать числа a1, ..., an так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.
РешениеМожно ли выписать в строчку 2000 чисел так, чтобы сумма любых трех последовательных чисел была отрицательной, а сумма всех чисел - положительной?
РешениеДва четырехугольника $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ симметричны друг другу относительно точки $P$. Известно, что четырехугольники $A_1BCD$, $AB_1CD$ и $ABC_1D$ вписанные. Докажите, что $ABCD_1$ тоже вписанный.
РешениеВ треугольнике $ABC$ $N$ – середина дуги $ABC$ описанной окружности треугольника, $NP$ и $NT$ – касательные к вписанной окружности. Прямые $BP$ и $BT$ пересекают второй раз описанную окружность треугольника в точках $P_1$ и $T_1$ соответственно. Докажите, что $PP_1=TT_1$.
РешениеОкружность $\omega_1$ проходит через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ и касается лучей $CB$, $CD$. Окружность $\omega_2$ касается лучей $AB$, $AD$ и касается внешним образом $\omega_1$ в точке $T$. Докажите, что $T$ лежит на диагонали $AC$.
РешениеНайти все действительные решения уравнения с 4 неизвестными: x2 + y2 + z2 + t2 = x(y + z + t).
РешениеНайдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных делителей.
Решение
Задачи
Задача 30358 |
|
|
Пусть p и q – различные простые числа. Сколько делителей у числа
а) pq;
б) p²q;
в) p²q²;
г) pmqn?
|
|
Решение |
Задача 60535 |
|
|
а) 2·3·5·7·11; б) 22·33·55·77·1111 ?
|
|
|
Решение |
Задача 78208 |
|
|
Доказать: число делителей n не превосходит 2.
|
|
|
Решение |
Задача 97776 |
|
|
Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных делителей.
|
|
|
Решение |
Задача 60536 |
|
|
Для каждого k от 1 до 6 найдите наименьшее натуральное число, которое имеет ровно k различных делителей.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]
