Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 51]

Задача 73758

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Макаричев А.

Натуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 – совершенное: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.) Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78619

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Обозначим через d(N) число делителей N (числа 1 и N также считаются делителями). Найти все такие N, что число P = – простое.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60549

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
Темы:	[	Ряды (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 11

Может ли быть так, что а) σ(n) > 3n; б) σ(n) > 100n?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60551

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 2+
Классы: 6,7,8,9

Пусть α – действительное положительное число, d – натуральное.
Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на d, равно [^α/_d].

Прислать комментарий

Решение

Задача 30365

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3
Классы: 6,7,8

Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 51]