ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]      



Задача 60546

 [Совершенные числа]
Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Число n называется совершенным, если  σ(n) = 2n.
Докажите, что если  2k – 1 = p  – некоторое простое число Мерсенна, то  n = 2k–1(2k – 1)  – совершенное число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60548

 [Дружественные числа]
Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

  Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если  σ(m) – m = n  и  σ(n) – n = m.
  Докажите, что если все три числа  p = 3·2k–1 – 1,  q = 3·2k – 1  и  r = 9·22k–1 – 1  – простые, то числа  m = 2kpq  и  n = 2kr  – дружественные. Постройте примеры дружественных чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60651

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что число 11...1 (1986 единиц) имеет по крайней мере
  а) 8;  б) 32 различных делителя.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60771

Тема:   [ Количество и сумма делителей числа ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть τ(n) – количество положительных делителей натурального числа n. Решите уравнение  a = 2τ(a).

Прислать комментарий     Решение

Задача 64830

Тема:   [ Количество и сумма делителей числа ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Петя нашел сумму всех нечётных делителей некоторого чётного числа (включая 1), а Вася – сумму всех чётных делителей этого же числа (включая само число). Может ли произведение двух найденных чисел быть точным квадратом?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .