Задача 97776
|
|
 |
Условие
Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных делителей.
Решение
Количество делителей числа n = равно (α1 + 1)...(αk + 1) (см. задачу 60537 а). n делится на 30 = 2·3·5, поэтому k ≥ 3. Но
(α1 + 1)...(αk + 1) = 30, а 30 нельзя разложить больше, чем на три множителя, отличных от 1 (а на 3 множителя можно разложить единственным способом). Следовательно, k = 3,
{α1, α2, α3) = {1, 2, 4}. Итак, n = pq²r4, где (p, q, r) – перестановка чисел (2, 3, 5).
Ответ
720, 1200, 1620, 4050, 7500, 11250.
Замечания
баллы: 5
