ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97776
Темы:    [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Левин М.

Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных делителей.


Решение

Количество делителей числа  n =   равно  (α1 + 1)...(αk + 1)  (см. задачу 60537 а). n делится на  30 = 2·3·5,  поэтому  k ≥ 3.  Но
1 + 1)...(αk + 1) = 30,  а 30 нельзя разложить больше, чем на три множителя, отличных от 1 (а на 3 множителя можно разложить единственным способом). Следовательно,  k = 3,  {α1, α2, α3) = {1, 2, 4}.  Итак,  n = pq²r4,  где  (p, q, r)  – перестановка чисел  (2, 3, 5).


Ответ

720, 1200, 1620, 4050, 7500, 11250.

Замечания

баллы: 5

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1982
выпуск
Номер 5
Задача
Номер М741
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1981/1982
Номер 3
вариант
Вариант 7-8 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .