ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Bhattacharya A.

Пусть точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$. Точка $A_1$, лежащая на дуге $BC$ описанной около треугольника окружности $\omega$, удовлетворяет условию $\angle BA_1P=\angle CA_1Q$. Точки $B_1$ и $C_1$ определены аналогично. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      



Задача 66811

Темы:   [ Точка Микеля ]
[ Поворотная гомотетия (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Изогональное сопряжение ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Bhattacharya A.

Пусть точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$. Точка $A_1$, лежащая на дуге $BC$ описанной около треугольника окружности $\omega$, удовлетворяет условию $\angle BA_1P=\angle CA_1Q$. Точки $B_1$ и $C_1$ определены аналогично. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66097

Темы:   [ Перпендикулярные прямые ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Поворотная гомотетия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что  BD = CD,  ∠BDC = 120°.  Вне треугольника ABC взята такая точка E, что  AE = CE,  ∠AEC = 60°  и точки B и E находятся в разных полуплоскостях относительно AC. Докажите, что  ∠AFD = 90°,  где F – середина отрезка BE.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78288

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Поворотная гомотетия (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

ABC – равнобедренный треугольник;  AB = BC,  BH – высота, M – середина стороны AB, K – точка пересечения BH с описанной окружностью треугольника BMC. Доказать, что  BK = 3/2 R,  где R – радиус описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66677

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Поворотная гомотетия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Mudgal A.

Дана окружность $\omega$ и ее хорда $BC$. Точка $A$ движется по большей из дуг $BC$. Пусть $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$, $D$, $E$ – такие точки на сторонах $AB$, $AC$, что $H$ – середина отрезка $DE$, $O_A$ – центр описанной окружности треугольника $ADE$. Докажите, что все точки $O_A$ лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66309

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Поворотная гомотетия (прочее) ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Окружность Аполлония ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Mahdi Etesami Fard

Точка D лежит на основании BC равнобедренного треугольника ABC, а точки M и K – на его боковых сторонах AB и AC соответственно, причём AMDK – параллелограмм. Прямые MK и BC пересекаются в точке L. Перпендикуляр к BC, восставленный из точки D, пересекает прямые AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что окружность с центром L, проходящая через D, касается описанной окружности треугольника AXY.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .