Задача 78288

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

ABC – равнобедренный треугольник;  AB = BC,  BH – высота, M – середина стороны AB, K – точка пересечения BH с описанной окружностью треугольника BMC. Доказать, что  BK = ³/₂ R,  где R – радиус описанной окружности треугольника ABC.

Решение

Рассмотрим поворотную гомотетию вокруг точки C на угол ABH с коэффициентом ^R/_AB. При этом преобразовании точка B переходит в центр O описанной окружности треугольника ABC, точка A – в точку  W ≠ B  пересечения этой окружности и прямой BH (в силу подобия треугольников BOC и AWC), точка M переходит в точку K (в силу равенства  ∠MCK = ∠MBK = ∠ABH).  Поэтому  OK = KW,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	25
Год	1962
вариант
	1
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	2