Версия для печати
Убрать все задачи

---

В правильном шестиугольнике ABCDEF точки K и L - середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки DK и EL пересекаются в точке N. Докажите, что площадь четырехугольника KBLN равна площади треугольника DEN.

   Решение

---

H – точка пересечения высот AA' и BB' остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная AB, пересекает эти высоты в точках D и E, а сторону AB – в точке P. Докажите, что ортоцентр треугольника DEH лежит на отрезке CP.

   Решение

---

Последовательность чисел {a_n} задана условиями

Верно ли, что эта последовательность ограничена?

   Решение

---

В равенстве  х⁵ + 2x + 3 = p^k  числа х и k – натуральные. Может ли число р быть простым?

   Решение

---

Какой остаток даёт  x + x³ + x⁹ + x²⁷ + x⁸¹ + x²⁴³  при делении на  x – 1?

   Решение

---

Найдите внутри треугольника ABC все такие точки P, чтобы общие хорды каждой пары окружностей, построенных на отрезках PA, PB и PC как на диаметрах, были равны.

   Решение

---

Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырёхугольника образуют вписанный четырёхугольник.

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC точка H – ортоцентр, O – центр описанной окружности, AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Точка C₂ симметрична C относительно A₁B₁. Докажите, что H, O, C₁ и C₂ лежат на одной окружности.

   Решение

---

Ключом шифра, называемого "решеткой", является прямоугольный трафарет размера 6 на 10 клеток. В трафарете вырезаны 15 клеток так, что при наложении его на прямоугольный лист бумаги размера 6 на 10 клеток четырьмя возможными способами его вырезы полностью покрывают всю площадь листа. Буквы сообщения (без пропусков) последовательно вписываются в вырезы трафарета (по строкам, в каждой строке слева направо) при каждом из четырех его возможных положений. Прочтите исходный текст, если после зашифрования на листе бумаги оказался следующий текст (на русском языке): (Задача с сайта www.cryptography.ru.)

   Решение

---

Поставьте в каждом из шести чисел по одной запятой так, чтобы равенство стало верным:  2016 + 2016 + 2016 + 2016 + 2016 = 46368.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60884  [Эффект девяток]

Тема:   [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Периодом дроби ¹/₇ является число  N = 142857.  Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода – число из одних девяток
142 + 857 = 999).  Докажите в общем случае, что для простого  q > 5  и натурального  p < q  период дроби ^p/_q есть такое 2n-значное число  N = N₁N₂,  что  N₁ + N₂ = .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109790

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Последовательность {a_n} строится следующим образом:  a₁ = p  – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, a_n+1 – период десятичной дроби ¹/_an, умноженный на 2. Найдите число a₂₀₀₃.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77957

Темы:   [ Приближения чисел ] [ Десятичные дроби ]

Сложность: 2+ Классы: 9

Вычислить с шестьюдесятью десятичными знаками     (60 девяток).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60845

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Периодические и непериодические дроби ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Пусть число α задаётся десятичной дробью
  а) 0,101001000100001000001...;
  б) 0,123456789101112131415....
Будет ли это число рациональным?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65894

Темы:   [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Десятичные дроби (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Поставьте в каждом из шести чисел по одной запятой так, чтобы равенство стало верным:  2016 + 2016 + 2016 + 2016 + 2016 = 46368.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями