ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55458
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Биссектриса угла ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырёхугольника образуют вписанный четырёхугольник.


Подсказка

Выразите противоположенные углы полученного четырёхугольника через углы данного.


Решение

  Обозначим углы данного четырёхугольника ABCD через 2α, 2β, 2γ, 2δ соответственно. Пусть биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M, углов B и C – в точке N, углов C и D – в точке K, углов A и D – в точке L.
  Рассмотрим случай, когда четырёхугольник, образованный этими биссектрисами, – это четырёхугольник KNML (см. рис.).

  Тогда  ∠AMB + ∠CKD = 180° – (α + β) + 180° – (γ + δ) = 360° – (α + β + γ + δ) = 360° – ½ 360° = 180°.  Следовательно, около четырёхугольника KNML можно описать окружность.

Замечания

Это утверждение верно и для биссектрис внешних углов выпуклого четырёхугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4780

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .