Задача 116751

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Подобие ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Авторы: Акопян А.В., Швецов Д.В.

H – точка пересечения высот AA' и BB' остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная AB, пересекает эти высоты в точках D и E, а сторону AB – в точке P. Докажите, что ортоцентр треугольника DEH лежит на отрезке CP.

Решение

  Пусть X – точка пересечения высоты HM треугольника DEH с отрезком CP (см. рис.). Докажем, что X – ортоцентр треугольника DEH.

  Треугольник DEH подобен треугольнику BAC по двум углам. Так как отношение, в котором ортоцентры подобных треугольников разбивают соответствующие высоты одинаково, то достаточно проверить, что  HX : XM = CH : HC'  (CC' – высота треугольника ABC). Но это равенство следует из равенства отрезков MP и HC' и подобия треугольников MXP и HXC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	10 (2012 год)
Дата	2012-04-8
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	3