ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Айрат выписал подряд все числа месяца: 123456789101112... и покрасил три дня (дни рождения своих друзей), никакие два из которых не идут подряд. Оказалось, что все непокрашенные участки состоят из одинакового количества цифр. Докажите, что первое число месяца покрашено.

Вниз   Решение


Автор: Знак Е.

Существует ли функция f(x) , определенная при всех x и для всех x,y удовлетворяющая неравенству

|f(x+y)+ sin x+ sin y|<2?

ВверхВниз   Решение


Из вершины C прямого угла треугольника ABC опущена высота CK, и в треугольнике ACK проведена биссектриса CE. Прямая, проходящая через точку B параллельно CE, пересекает CK в точке F. Докажите, что прямая EF делит отрезок AC пополам.

ВверхВниз   Решение


Все грани шестигранника – четырёхугольники, а в каждой его вершине сходятся по три ребра. Верно ли, что если для него существуют вписанная и описанная сферы, центры которых совпадают, то этот шестигранник – куб?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 4]      



Задача 65206

Темы:   [ Вписанные многогранники ]
[ Описанные многогранники ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Все грани шестигранника – четырёхугольники, а в каждой его вершине сходятся по три ребра. Верно ли, что если для него существуют вписанная и описанная сферы, центры которых совпадают, то этот шестигранник – куб?

Прислать комментарий     Решение

Задача 107728

Темы:   [ Вписанные многогранники ]
[ Выпуклые тела ]
[ Перестройки ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Многогранник вписан в сферу. Может ли оказаться, что этот многогранник невыпуклый? (Многогранник вписан в сферу, если все концы его рёбер лежат на сфере.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 64529

Темы:   [ Параллелепипеды (прочее) ]
[ Вписанные многогранники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Трапеции (прочее) ]
[ Сфера, описанная около тетраэдра ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Три плоскости разрезают параллелепипед на 8 шестигранников, все грани которых – четырёхугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает две оставшиеся грани). Известно, что вокруг одного из этих шестигранников можно описать сферу. Докажите, что и вокруг каждого из них можно описать сферу.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65583

Темы:   [ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ]
[ Вписанные многогранники ]
[ Описанные многогранники ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Икосаэдр и додекаэдр вписаны в одну и ту же сферу. Докажите, что тогда они описаны вокруг одной и той же сферы.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .