ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116595
Тема:    [ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.


Решение

Пусть a – один из членов прогрессии, а d – её разность. По условию, числа  a(a + d)  и  a(a + 2d)  – также члены прогрессии; значит, их разность имеет вид nd при некотором целом n, то есть  ad = nd.  Поскольку  d > 0,  получаем  a = n,  то есть a – целое число.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .