Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан остроугольный треугольник ABC; AA₁, BB₁ – его высоты. Из точки A₁ опустили перпендикуляры на прямые AC и AB, а из точки B₁ опустили перпендикуляры на прямые BC и BA. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.

   Решение

---

В парламенте 200 депутатов. В процессе заседания произошло 200 потасовок, в каждой из которой участвовали некоторые два депутата.
Докажите, что можно объединить в комиссию 67 депутатов, из которых никакие два не выясняли между собой отношения в потасовке.

   Решение

---

Митя собирается согнуть квадратный лист бумаги ABCD. Митя называет сгиб красивым, если сторона AB пересекает сторону CD и четыре получившихся прямоугольных треугольника равны. Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку F. Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку F.

   Решение

---

Даны многочлены  f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, m – наибольший коэффициент многочлена  f. Известно, что для некоторых натуральных чисел  a < b  имеют место равенства  f(a) = g(a)  и  f(b) = g(b).  Докажите, что если  b > m,  то многочлены  f и g совпадают.

   Решение

---

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁, причём  AC₁ : C₁B = BA₁ : A₁C = CB₁ : B₁A = 2 : 1.
Найдите площадь треугольника, вершины которого – попарные пересечения отрезков AA₁, BB₁, CC₁, если площадь треугольника ABC равна 1.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 200]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 54662

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Построения с помощью вычислений ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Даны отрезки a, b и c. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок x, для которого  x : a = b : c.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54663

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Построения с помощью вычислений ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Даны отрезки a, b, c, d и e. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок, равный abc/de.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54868

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На стороне AB треугольника ABC взята точка K, а на стороне BC – точки M и N так, что  AB = 4AK,  CM = BN,  MN = 2BN.
Найдите отношения  AO : ON  и  KO : OM,  где O — точка пересечения прямых AN и KM.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54923

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне AC, причём  AD = 2DC.  Точка E лежит на стороне BC. Площадь треугольника ABD равна 3, площадь треугольника AED равна 1. Отрезки AE и BD пересекаются в точке O. Найдите отношение площадей треугольников ABO и OED.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54974

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁, причём  AC₁ : C₁B = BA₁ : A₁C = CB₁ : B₁A = 2 : 1.
Найдите площадь треугольника, вершины которого – попарные пересечения отрезков AA₁, BB₁, CC₁, если площадь треугольника ABC равна 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 200]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями