ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116277
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан остроугольный треугольник ABC; AA1, BB1 – его высоты. Из точки A1 опустили перпендикуляры на прямые AC и AB, а из точки B1 опустили перпендикуляры на прямые BC и BA. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.


Решение

  Пусть A1A2 и A1A3 (B1B2 и B1B3) – перпендикуляры, опущенные из точки A1 (B1) соответственно на прямые AC (BC) и AB. Как известно (см зад. 56508), треугольник B1CA1 подобен треугольнику ABC. Треугольник A2CB2, в свою очередь, подобен треугольнику B1CA1, а значит, и треугольнику ABC. Поэтому прямые A2B2 и AB параллельны, т.е. A2B2A3B3 – трапеция.
  Опустим перпендикуляры OD и OE из середины O отрезка A1B1 на основания трапеции A2B2 и A3B3. Так как углы A1A2B1 и B1B2A1 прямые, O – центр окружности, описанной около четырёхугольника B1A2B2A1. Поэтому D – середина A2B2. Отрезок OE параллелен основаниям трапеции A1A3B3B1 и потому является её средней линией. Значит, E – середина A3B3. Таким образом, трапеция A2B2A3B3 симметрична относительно DE и, следовательно, равнобока.

Замечания

1. Параллельность прямых AB и A2B2 следует также из теоремы Паппа.

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2010/2011
Номер 32
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .