Задача 116277

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Средняя линия трапеции ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Фельдман Г.

Дан остроугольный треугольник ABC; AA₁, BB₁ – его высоты. Из точки A₁ опустили перпендикуляры на прямые AC и AB, а из точки B₁ опустили перпендикуляры на прямые BC и BA. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.

Решение

  Пусть A₁A₂ и A₁A₃ (B₁B₂ и B₁B₃) – перпендикуляры, опущенные из точки A₁ (B₁) соответственно на прямые AC (BC) и AB. Как известно (см зад. 56508), треугольник B₁CA₁ подобен треугольнику ABC. Треугольник A₂CB₂, в свою очередь, подобен треугольнику B₁CA₁, а значит, и треугольнику ABC. Поэтому прямые A₂B₂ и AB параллельны, т.е. A₂B₂A₃B₃ – трапеция.
  Опустим перпендикуляры OD и OE из середины O отрезка A₁B₁ на основания трапеции A₂B₂ и A₃B₃. Так как углы A₁A₂B₁ и B₁B₂A₁ прямые, O – центр окружности, описанной около четырёхугольника B₁A₂B₂A₁. Поэтому D – середина A₂B₂. Отрезок OE параллелен основаниям трапеции A₁A₃B₃B₁ и потому является её средней линией. Значит, E – середина A₃B₃. Таким образом, трапеция A₂B₂A₃B₃ симметрична относительно DE и, следовательно, равнобока.

Замечания

1. Параллельность прямых AB и A₂B₂ следует также из теоремы Паппа.
2. См. также задачу М2233 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2011, №4).
3. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2010/2011
Номер	32
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	5