Фильтр
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
В остроугольном треугольнике ABC с углом A, равным 60o, высоты пересекаются в точке H.
а) Пусть M и N — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам BH и CH со сторонами AB и AC соответственно. Докажите, что точки M, N и H лежат на одной прямой.
б) Докажите, что на той же прямой лежит центр O описанной окружности.
Решение
Решение
Решение
На сфере радиуса 1 расположено n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не больше n2. Решение
Убрать все задачи
В остроугольном треугольнике ABC с углом A, равным 60o, высоты пересекаются в точке H.
а) Пусть M и N — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам BH и CH со сторонами AB и AC соответственно. Докажите, что точки M, N и H лежат на одной прямой.
б) Докажите, что на той же прямой лежит центр O описанной окружности.
РешениеПусть n – натуральное число. На 2n + 1 карточках написано по ненулевому целому числу; сумма всех чисел также ненулевая. Требуется этими карточками заменить звёздочки в выражении *x2n + *x2n–1 + ... *x + * так, чтобы полученный многочлен не имел целых корней. Всегда ли это можно сделать?
РешениеСуществует ли такой квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c с целыми коэффициентами и a, не кратным 2014, что все числа f(1), f(2), ..., f(2014) имеют различные остатки при делении на 2014?
РешениеНа сфере радиуса 1 расположено n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не больше n2.
Решение
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]
В трёхмерном координатном пространстве рассмотрим множество всех кубов с целочисленными координатами вершин. Докажите, что в этом множестве существует такое бесконечное подмножество $K$, что любые два разных куба из $K$ не имеют параллельных рёбер.
На сфере радиуса 1 расположено n точек.
Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними
не больше n2.
Кусок сыра имеет форму куба.
В нем имеется несколько одинаковых
непересекающихся сферических дыр.
Докажите, что можно разрезать сыр на
выпуклые многогранники так, чтобы
внутри каждого из них находилась ровно одна дыра.
Докажите, что шесть ребер любого тетраэдра можно разбить на три пары
(a,b), (c,d), (e,f) так, чтобы из отрезков длин a+b, c+d, e+f
можно было составить треугольник.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]
Задача 67520 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 35214 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 35220 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 35076 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 35456 |
|
|
Даны шар и плоскость. На поверхности шара можно делать построения циркулем, а на плоскости – циркулем и линейкой.
Как на плоскости построить отрезок, равный радиусу шара?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]
