Условие
Кусок сыра имеет форму куба.
В нем имеется несколько одинаковых
непересекающихся сферических дыр.
Докажите, что можно разрезать сыр на
выпуклые многогранники так, чтобы
внутри каждого из них находилась ровно одна дыра.
Подсказка
Каждой дыре сопоставим многогранник, состоящий из всех
точек сыра, для которых центр этой дыры - ближайший среди
центров всех дыр.
Решение
Обозначим через K данный кусок сыра и
через A
1, A
2, ... , A
n
центры дыр. Для каждой пары центров A
i, A
j
проведем плоскость П
i,j,
перпендикулярную отрезку A
iA
j
и проходящую через его середину.
Зафиксируем один из центров A
i.
Для каждой из плоскостей
П
i,1, ... , П
i,i-1,
П
i,i+1, ... , П
i,n
рассмотрим то из полупространств, на которые
она делит пространство, которое содержит точку
A
i (для плоскости П
i,j
соответствующее полупространство является
множеством точек X, для которых
расстояние XA
i не больше XA
j).
Обозначим через M
i пересечение этих
полупространств и куба K.
Легко видеть, что M
i - выпуклый многогранник,
содержащий дыру с центром A
i.
Покажем, что куб K разбит на n многогранников
M
1, M
2, ... , M
n.
В самом деле, для произвольной точки X сыра
найдем среди центров дыр
A
1, A
2, ... , A
n
ближайший к X центр A
i.
Тогда X принадлежит многограннику M
i.
Если ближайших к X точек среди центров
A
1, A
2, ... , A
n
несколько, то X лежит на границе между двумя
многогранниками M
i, M
j
(эта граница - часть плоскости П
i,j).
Источники и прецеденты использования
