Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Существует ли такая гипербола, задаваемая уравнением вида $y=\frac{a}{x}$, что в первой координатной четверти (x>0, y>0) под ней лежат ровно 82 точки с целочисленными координатами?
РешениеНа доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов: x² + a1x + b1, x² + a2x + b2, ..., x² + a9x + b9. Известно, что последовательности a1, a2, ..., a9 и b1, b2, ..., b9 – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма всех девяти трёхчленов имеет хотя бы один корень. Какое наибольшее количество исходных трёхчленов может не иметь корней?
РешениеЛуч света, пущенный из точки M, зеркально отразившись от прямой AB в точке C, попал в точку N.
Докажите, что биссектриса угла MCN перпендикулярна прямой AB. (Угол падения равен углу отражения.)
РешениеТочки M и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причём AM : MB = 1 : 2, AN : NC = 3 : 2. Прямая MN пересекает продолжение стороны BC в точке F. Найдите CF : BC.
РешениеВ основании пирамиды ABCD лежит прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC , DC – высота пирамиды, AB=1 , BC=2 , CD=3 . Найдите двугранный угол между плоскостями ADB и ADC .
РешениеНайдите все трёхзначные числа, квадраты которых оканчиваются на 1001.
РешениеНайдите последние две цифры в десятичной записи числа 1! + 2! + ... + 2001! + 2002!.
РешениеВ тетраэдре ABCD ребро AB перпендикулярно ребру CD , P — произвольная точка пространства. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки O до середин рёбер AC и BD равна сумме квадратов расстояний от точки P до середин рёбер AD и BC .
РешениеДокажите, что никакая прямая не может пересечь все три стороны треугольника (в точках, отличных от вершин).
РешениеТри простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую прогрессию: q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.
Решение
Задачи
Задача 30378 |
|
|
а) Докажите, что p² – 1 делится на 24, если p – простое число и p > 3.
б) Докажите, что p² – q² делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.
|
|
Решение |
Задача 30382 |
|
|
Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую прогрессию: q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.
|
|
|
Решение |
Задача 31275 |
|
|
Найти все такие натуральные числа p, что p и p² + 2 – простые.
|
|
|
Решение |
Задача 31279 |
|
|
Найти все натуральные числа p, что p, p² + 4 и p² + 6 – простые числа.
|
|
|
Решение |
Задача 34835 |
|
|
Является ли число 49 + 610 + 320 простым?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 201]
