|
|
 |
Условие
Существует ли такая гипербола, задаваемая уравнением вида $y=\frac{a}{x}$, что в первой координатной четверти (x>0, y>0) под ней лежат ровно 82 точки с целочисленными координатами?Решение
По смыслу задачи достаточно рассмотреть случай $a > 0$. Если $n < a\leqslant n+1$, $n\in\mathbb{N}$, число точек в первой координатной четверти ($x > 0$, $y > 0$) под графиком функции $y=\frac{a}{x}$ равно $$ S(a)=n+\left[\frac{n}{2}\right]+\left[\frac{n}{3}\right]+\ldots $$ (сумма конечная, так как с того момента, как знаменатель окажется больше числителя, целая часть станет равна нулю). Функция $S(a)$ является неубывающей, постоянной на каждом полуинтервале $(n;n+1]$, $n\in\mathbb{N}$, \begin{alignat*}{2} S(a)& =23+11+7+5+4+3+3+4\cdot2+13\cdot1=77 \\ &\text{при } 23 < a\leqslant24,\\ S(a)&=24+12+8+6+4+4+3+3+4\cdot2+12\cdot1=84\\ &\text{при } 24 < a\leqslant25. \end{alignat*} Таким образом, функция $S(a)$ значения 82 не принимает.
Комментарий.
Задача об асимптотическом поведении при больших $a$ числа точек первой координатной четверти ($x>0$, $y>0$) с целочисленными координатами под графиком функции $y=\frac{a}{x}$ называется проблемой делителей Дирихле. Если обозначить количество натуральных делителей числа $n$ через $\tau(n)$ (например, $\tau(1)=1$, $\tau(3)=2$, $\tau(10)=4$), то это число точек равно $$ D(a)=\tau(1)+\tau(2)+\tau(3)+\ldots+\tau([a]). $$ (здесь в сумму включено также число точек на самой гиперболе, если $a\in\mathbb{Z}$). С ростом $a$ сумма $D(a)$ растет примерно как $\int_1^a \frac{a}{x} dx= a\ln a$ (скажем, $D(23)=77$, а $23\ln 23=72{,}116\ldots$). Первый из известных существенных результатов в этой области получил в середине XIX века Дирихле. Отметим, что задача уточнения остаточного члена в асимптотической формуле для $D(a)$ актуальна и в наши дни.
