|
|
 |
Условие
Найдите все трёхзначные числа, квадраты которых оканчиваются на 1001.
Решение
Первый способ. Пусть abc = 100а + 10b + c –
искомое число. Тогда abc² = 100000a² + 2000ab + 100b² + 200ac² + 20bc² + c².
Последняя цифра этого числа зависит только от с². Так как с² оканчивается на 1, то c = 1 или 9. Предпоследняя цифра зависит от выражения
20bc + c² = 20b + 1 или 180b + 81. Перебором находим, что окончанию 01 могут удовлетворять только три пары значений (b, c): (5, 1), (0, 1) или (4, 9). Таким образом, квадрат искомого числа имеет вид: 10000а² + 10200а + 2601, 10000а² + 200а + 1 или 10000а² + 9800а + 1201.
Перебором убеждаемся, что в первом случае ни одно значение а не удовлетворяет условию, во втором случае а = 5, а в третьем – а = 7.
Второй способ. Пусть n – искомое число. Так как n² оканчивается на 1001, то n² – 1 = (n – 1)(n + 1) оканчивается на 1000, то есть оно кратно 1000. Поскольку ровно одно из чисел n – 1 или n + 1 может делиться на 5, значит, это же число должно быть кратно 125. Оба этих числа – чётные, значит, то из них, которое делится на 125, делится и на 250.
Так как искомое число – трёхзначное, то остается проверить, на что оканчиваются произведения в семи возможных случаях: 248·250; 250·252, 498·500, 500·502, 748·750, 750·752, 998·1000. На 1000 оканчиваются только два из них: 1) 500·502 = 251000, тогда n = 501; 2) 748·750 = 561000, тогда n = 749.
Ответ
501, 749.
