Каталог по темам

Выбрано 6 задач

Старый калькулятор I. а) Предположим, что мы хотим найти $\sqrt[3]{x}$ (x > 0) на калькуляторе, который кроме четырех обычных арифметических действий умеет находить $\sqrt{x}$ . Рассмотрим следующий алгоритм. Строится последовательность чисел {y_n}, в которой y₀ — произвольное положительное число, например, y₀ = $\sqrt{\sqrt{x}}$ , а остальные элементы определяются соотношением

y_{n + 1} = $\displaystyle \sqrt{\sqrt{x\,y_n}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$ y_n = $\displaystyle \sqrt[3]{x}$ .

б) Постройте аналогичный алгоритм для вычисления корня пятой степени.

Решение

Авторы: Ященко И.В., Ботин Д.А.

Гулливер попал в страну лилипутов, имея 7000000 рублей. На все деньги он сразу купил кефир в бутылках по цене 7 рублей за бутылку (пустая бутылка стоила в то время 1 рубль). Выпив весь кефир, он сдал бутылки и на все вырученные деньги сразу купил кефир. При этом он заметил, что и стоимость кефира, и стоимость пустой бутылки выросли в два раза. Затем он снова выпил весь кефир, сдал бутылки, на все вырученные деньги снова купил кефир и т. д. При этом между каждыми двумя посещениями магазина и стоимость кефира, и стоимость пустой бутылки возрастали в два раза. Сколько бутылок кефира выпил Гулливер?

Решение

Автор: Раскина И.В.

Куб, стоящий на плоскости, несколько раз перекатили через его рёбра, после чего он вернулся на прежнее место.
Обязательно ли он стоит на той же грани?

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Верно ли, что любой выпуклый многоугольник можно по прямой разрезать на два меньших многоугольника с равными периметрами и
а) равными наибольшими сторонами?
б) равными наименьшими сторонами?

Решение

Автор: Бахарев Ф.

Окружность с центром I , вписанная в грань ABC треугольной пирамиды SABC , касается отрезков AB , BC , CA в точках D , E , F соответственно. На отрезках SA , SB , SC отмечены соответственно точки A' , B' , C' так, что AA'=AD , BB'=BE , CC'=CF ; S' – точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке S . Известно, что SI является высотой пирамиды. Докажите, что точка S' равноудалена от точек A' , B' , C' .

Решение

Автор: Берлов С.Л.

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

Решение

Задача 64526

Задача 116632

Задача 58311

Задача 32082

Задача 64614