Задача 58311

Темы:    [ Индукция в геометрии ] [ Системы точек ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если n точек не лежат на одной прямой, то среди прямых, их соединяющих, не менее n различных.

Решение

Доказательство проведем индукцией по n. При n = 3 утверждение очевидно. Предположим, что мы доказали его для n - 1 точки и докажем его для n точек. Если на каждой прямой, проходящей через две данные точки, лежит еще одна данная точка, то все данные точки лежат на одной прямой (см. задачу 20.13). Поэтому существует прямая, на которой лежат ровно две данные точки A и B. Выбросим точку A. Возможны два случая.
1. Все оставшиеся точки лежат на одной прямой l. Тогда будет ровно n различных прямых: n - 1 прямая, проходящая через A, и прямая l.
2. Оставшиеся точки не лежат на одной прямой. Тогда среди прямых, их соединяющих, по предположению индукции есть не менее n - 1 различных, причем все они отличны от прямой l. Вместе с прямой AB они составляют не менее n прямых.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	27
Название	Индукция и комбинаторика
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Индукция
Тема	Индукция в геометрии
задача
Номер	27.005