Версия для печати
Убрать все задачи

---

На катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника построены квадраты, расположенные вне треугольника. Вычислить площадь шестиугольника, вершины которого совпадают с теми вершинами квадратов, которые не принадлежат данному треугольнику. Длина гипотенузы c и сумма длин катетов s известны.

   Решение

---

Каждая сторона правильного треугольника разбита на n равных отрезков, и через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный треугольник разбился на n² маленьких треугольников-клеток. Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску.
  а) Какое наибольшее число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений, если  n = 10?
  б) Тот же вопрос для  n = 9.

   Решение

---

Окружность касается стороны BC треугольника ABC в её середине M, проходит через точку A, а отрезки AB и AC пересекает в точках D и E соответственно. Найдите угол A, если известно, что  BC = 12,  AD = 3,5  и  EC = .

   Решение

---

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и BC в точках B₁ и A₁. Докажите, что если AC > BC, то AA₁ > BB₁.

   Решение

---

Докажите, что числа Фибоначчи {F_n} удовлетворяют соотношению

Получите отсюда равенство

   Решение

---

Можно ли осветить круглую арену 100 прожекторами так, чтобы каждый из них освещал выпуклую фигуру, никакой из них не освещал всю арену, но любые два из них вместе уже освещали всю арену?

   Решение

---

Функции  f(x) – x  и  f(x²) – x⁶  определены при всех положительных x и возрастают.
Докажите, что функция     также возрастает при всех положительных x.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61320

Темы:   [ Монотонность, ограниченность ] [ Итерации ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Докажите, что для монотонно возрастающей функции f (x) уравнения x = f (f (x)) и x = f (x) равносильны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67288

Тема:   [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Каждая из функций $f(x)$ и $g(x)$ определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и их разность строго монотонны на всей числовой прямой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64770

Темы:   [ Монотонность, ограниченность ] [ Доказательство от противного ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дана функция f, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых x и y, таких, что  x > y,  верно неравенство  (f(x))² ≤ f(y).  Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке  [0,1].

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98155

Темы:   [ Монотонность, ограниченность ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Функция  f(x) на отрезке [a, b] равна максимуму из нескольких функций вида y = C·10^–|x–d| (с различными d и C, причём все C положительны). Дано, что
f(a) = f(b). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110122

Темы:   [ Монотонность, ограниченность ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Функции  f(x) – x  и  f(x²) – x⁶  определены при всех положительных x и возрастают.
Докажите, что функция     также возрастает при всех положительных x.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями