ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Прямые, лучи, отрезки и углы >> Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Из любых четырёх точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один угол, не больший 45o. Доказать. (Сравните с задачей 2 для 10 класса.)

Вниз   Решение

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  sin($ \alpha$/2)sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2) = r/4R;
б)  tg($ \alpha$/2)tg($ \beta$/2)tg($ \gamma$/2) = r/p;
в)  cos($ \alpha$/2)cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2) = p/4R.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что сумма расстояний от любой точки, расположенной внутри правильного n-угольника, до его сторон не зависит от выбора точки.

ВверхВниз   Решение

Обозначим через S сумму следующего ряда:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... (12.1)

Преобразовав равенство (12.1 ), можно получить уравнение, из которого находится S:

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 - S $\displaystyle \Rightarrow$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$.

Сумму S можно также найти объединяя слагаемые ряда (12.1 ) в пары:

S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0;
S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1.

Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значение S:

S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= - 1 + (1 - 1) + (1 - 1) +...= - 1.

Итак, действуя четырьмя разными способами, мы нашли четыре значения суммы S:

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 0 = 1 = - 1.

Какое же значение имеет сумма S в действительности?

ВверхВниз   Решение

Дан равносторонний треугольник со стороной a. Найдите отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2 : 1.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что abc = 4prR и  ab + bc + ca = r2 + p2 + 4rR.

ВверхВниз   Решение

Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 9, катет BC равен 3. На гипотенузе взята точка M, причём AM : MB = 1 : 2. Найдите CM.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Назовём лабиринтом шахматную доску 8×8, где между некоторыми полями вставлены перегородки. Если ладья может обойти все поля, не перепрыгивая через перегородки, то лабиринт называется хорошим, иначе – плохим. Каких лабиринтов больше – хороших или плохих?

ВверхВниз   Решение

Автор: Гальперин Г.А.

Решить в натуральных числах уравнение:  

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  $ {\frac{1}{ab}}$ + $ {\frac{1}{bc}}$ + $ {\frac{1}{ca}}$ = $ {\frac{1}{2Rr}}$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 200]      

  с решениями  

Задача 116477

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K. Отрезок CK пересекает медиану AM треугольника в точке P. Оказалось, что  AK = AP.
Найдите отношение  BK : PM.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54658

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на n равных частей.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64997

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

В треугольнике ABC на сторонах AB, AC и BC выбраны точки D, E и F соответственно так, что  BF = 2CF,  CE = 2AE  и угол DEF – прямой.
Докажите, что DE – биссектриса угла ADF.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66644

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Пусть $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$, точка $D$ — ее середина, $E$ — проекция $D$ на $AB$. Известно, что $AC = 3 AE$. Докажите, что треугольник $CEL$ равнобедренный.
Прислать комментарий     Решение

Задача 108924

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D и E соответственно, причём  AD/DB = BE/EC = 2  и  ∠C = 2∠DEB.
Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 200]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .