Задача 108924

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D и E соответственно, причём  ^AD/_DB = ^BE/_EC = 2  и  ∠C = 2∠DEB.
Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Решение

Пусть  BD = 2x  и  ∠BED = α.  Тогда  AD = 4x  и  ∠C = 2α.  Через вершину C проведём прямую, параллельную DE. Если проведённая прямая пересекает сторону AC в точке M, то по теореме о пропорциональных отрезках  DM = ½ BD = x,  BM = 3x = AM,  то есть CM – медиана треугольника ABC. С другой стороны, так как  ∠BCM = ∠BED = ½ ∠C,  то  CM – биссектриса треугольника ABC. Следовательно, треугольник ABC – равнобедренный:  AC = BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6275