Задача 116477

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Условие

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K. Отрезок CK пересекает медиану AM треугольника в точке P. Оказалось, что  AK = AP.
Найдите отношение  BK : PM.

Решение

Первый способ. Проведём через точку M прямую, параллельную CK, которая пересечет AB в точке D (рис. слева). По теореме Фалеса  BD = KD.  По теореме о пропорциональных отрезках  PM = KD = ½ BK.

             

Второй способ. Пусть T – середина отрезка CK (рис. справа). MT – средняя линия треугольника CBK, следовательно,  MT || BK  и  BK = 2MT.  Треугольники KAP и TMP, очевидно, подобны, поэтому  MP = MT = ½ BK.

Ответ

BK : PM = 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2011
класс
Класс	8
Задача
Номер	8.3