Пусть τ(n) – количество положительных делителей натурального числа  n = ,  а σ(n)  – их сумма. Докажите равенства:
  а)  τ(n) = (α₁ + 1)...(α_s + 1);   б)  σ(n) = ·...·.

   Решение

Каждой паре чисел x и y поставлено в соответствие некоторое число x*y. Найдите 1993*1935, если известно, что для любых трёх чисел x, y, z  выполнены тождества:  x*x = 0  и  x*(y*z) = (x*y) + z.

   Решение

Существует ли такая непериодическая функция $f$, определённая на всей числовой прямой, что при любом $x$ выполнено равенство $f(x + 1)=f(x + 1)f(x)+1?$

   Решение

Дана таблица n×n, в каждой её клетке записано число, причём все числа различны. В каждой строке отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных столбцах. Затем в каждом столбце отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных строках. Докажите, что оба раза отметили одни и те же числа.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 152]      

На диагоналях AC и BD трапеции ABCD с основаниями  BC = a  и  AD = b  расположены точки K и L соответственно, причём
CK : KA = BL : LD = 7 : 4.  Найдите KL.

Прислать комментарий

Решение

Точки P и Q расположены соответственно на диагоналях AC и BD трапеции ABCD, причём  CP : AP = BQ : DQ = 5 : 2.
Найдите PQ, если известно, что основания AD и BC трапеции равны a и b соответственно.

Прислать комментарий

Решение

Точки M и N расположены соответственно на диагоналях BD и AC трапеции ABCD, причём  BM : MD = CN : NA = 1 : 8.
Найдите MN, если известно, что основания AD и BC трапеции равны a и b соответственно.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C$ прямой) $BC=2AC$, $CH$ – высота, $O_1$ и $O_2$ – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники $ACH$ и $BCH$, а $O$ – центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Пусть $H_1$, $H_2$ и $H_0$ – проекции точек $O_1$, $O_2$ и $O$ на гипотенузу. Докажите, что $H_1H=HH_0=H_0H_2$.

Прислать комментарий

Решение

На стороне AB треугольника ABC выбраны точки C₁ и C₂. Аналогично на стороне BC выбраны точки A₁ и A₂, а на стороне AC – точки B₁ и B₂. Оказалось, что отрезки A₁B₂, B₁C₂ и C₁A₂ имеют равные длины, пересекаются в одной точке, и угол между каждыми двумя из них равен 60°. Докажите, что   .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 152]