Условие
Существует ли такая непериодическая функция $f$, определённая на всей
числовой прямой, что при любом $x$ выполнено равенство
$f(x + 1)=f(x + 1)f(x)+1?$
Решение
Покажем, что любая функция, удовлетворяющая условиям,
имеет период 3.
Действительно, из уравнения следует, что $f$ не
принимает значения 1.
В самом деле, если $f(x)=1$, то
$f(x+1)=f(x+1)+1$, что невозможно. Следовательно,
$f(x+1)=\frac{1}{1-f(x)}$, поэтому, применяя последовательно это
равенство,
получаем
$$f(x+3)=\frac{1}{1-f(x+2)}=\frac{f(x+1)-1}{f(x+1)}=1-\frac1{f(x+1)}=f(x).$$
Ответ
Нет, не существует.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
83 |
|
Год |
2020 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
