Версия для печати
Убрать все задачи

---

Император пригласил на праздник 2015 волшебников, некоторые из которых добрые, а остальные злые. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой может говорить что угодно. При этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император нет. На празднике император задаёт каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить "да" или "нет". Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. Затем император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67246  (#10.1)

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть точка $M$ – середина катета $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $A$. На медиане $AN$ треугольника $AMC$ отмечена точка $D$, так что углы $ACD$ и $BCM$ равны. Докажите, что угол $DBC$ также равен этим углам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67247  (#10.2)

Темы:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прямая Эйлера неравнобедренного треугольника касается вписанной в него окружности. Докажите, что треугольник тупоугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67248  (#10.3)

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Изогональное сопряжение ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$ с центром $O$. Точка $A’$ диаметрально противоположна $A$ на $\omega$. На меньшей дуге $BC$ окружности $\omega$ выбрана точка $D$. Точка $D’$ симметрична $D$ относительно стороны $BC$. Прямая $A’D’$ вторично пересекает $\omega$ в точке $E$. Серединный перпендикуляр к $D’E$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что $\angle FOG=180^\circ-2\angle BAC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67249  (#10.4)

Темы:   [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Изогональное сопряжение ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Пусть $ABC$ – треугольник Понселе, точка $A_1$ симметрична $A$ относительно центра вписанной окружности $I$, точка $A_2$ изогонально сопряжена $A_1$ относительно $ABC$. Найдите ГМТ $A_2$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67250  (#10.5)

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В треугольнике $ABC$ вписанная окружность касается стороны $BC$ в точке $D$. Точка $M$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности треугольника. Точки $P$ и $Q$ – проекции точки $M$ на внешние биссектрисы углов $B$ и $C$. Докажите, что прямая $PQ$ делит отрезок $AD$ пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями