Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XIX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2023 г.)
>>
Заочный тур
Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Замкнутая, возможно, самопересекающаяся ломаная симметрична относительно не лежащей на ней точки $O$. Докажите, что число оборотов ломаной вокруг $O$ нечётно. (Числом оборотов вокруг $O$ называется сумма ориентированных углов $$\angle A_1OA_2+\angle A_2OA_3+\ldots+\angle A_{n-1}OA_n+\angle A_nOA_1,$$ делённая на $2\pi$.)
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ вдвое больше основания $BC$, а угол $C$ в полтора раза больше угла $A$. Диагональ $AC$ делит угол $C$ на два угла. Определите, какой из них больше?
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Точки $X$ и $Y$ лежат на продолжениях за точку $D$ сторон $CD$ и $AD$ соответственно, причем $DX=AB$ и $DY=BC$. Аналогично, точки $Z$ и $T$ лежат на продолжениях за точку $B$ сторон $CB$ и $AB$, причем $BZ=AD$ и $BT=DC$. Пусть $M_1$ – середина $XY$, $M_2$ – середина $ZT$. Докажите, что прямые $DM_1$, $BM_2$ и $AC$ пересекаются в одной точке.
Пусть $L$ – середина меньшей дуги $AC$ описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Из вершины $B$ на касательную к описанной окружности, проведённую в точке $L$, опустили перпендикуляр $BP$. Докажите, что точки $P$, $L$ и середины сторон $AB$ и $BC$ лежат на одной окружности.
Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Окружность с центром в точке $E$ лежит внутри прямоугольника. Из вершин $C$, $D$, $A$ проведены касательные к окружности $CF$, $DG$, $AH$, причем $CF$ пересекает $DG$ в точке $I$, $EI$ пересекает $AD$ в точке $J$, а прямые $AH$ и $CF$ пересекаются в точке $L$.
Докажите, что отрезок $LJ$ перпендикулярен $AD$.
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача 67219 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67218 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67220 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67206 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67207 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
