Задача 67218

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Марданов А.

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ вдвое больше основания $BC$, а угол $C$ в полтора раза больше угла $A$. Диагональ $AC$ делит угол $C$ на два угла. Определите, какой из них больше?

Решение

Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке $P$, также пересечём серединный перпендикуляр к $PD$ с $AP$ в точке $Q$. Тогда $\angle AQD=2\angle QPD=\angle QAD$ и $AD=QD>CD$ (гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета). Значит, $\angle ACD>\angle CAD=\angle BCA$.

Ответ

Угол $ACD$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
Заочный тур
задача
Номер	13 [8-11 кл]