Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 111711 (#6)

Темы:	[	Концентрические окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

На плоскости даны две концентрические окружности с центром в точке A . Пусть B — произвольная точка одной из этих окружностей, C — другой. Для каждого треугольника ABC рассмотрим две окружности одинакового радиуса, касающиеся друг друга в точке K , причем одна окружность касается прямой AB в точке B , а другая — прямой AC в точке C . Найдите ГМТ K .

Прислать комментарий Решение

Задача 111712 (#7)

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Дана окружность и точка O на ней. Вторая окружность с центром O пересекает первую в точках P и Q. Точка C лежит на первой окружности, а прямые CP, CQ вторично пересекают вторую окружность в точках A и B. Докажите, что AB = PQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111713 (#8)

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Разные задачи на разрезания	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

а) Докажите, что при n>4 любой выпуклый n -угольник можно разрезать на n тупоугольных треугольников. б) Докажите, что при любом n существует выпуклый n -угольник, который нельзя разрезать меньше, чем на n тупоугольных треугольников. в) На какое наименьшее число тупоугольных треугольников можно разрезать прямоугольник?

Прислать комментарий Решение

Задача 111714 (#9)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема Птолемея	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Прямые, симметричные диагонали BD четырёхугольника ABCD относительно биссектрис углов B и D, проходят через середину диагонали AC.
Докажите, что прямые, симметричные диагонали AC относительно биссектрис углов A и C, проходят через середину диагонали BD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111715 (#10)

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром I . Докажите, что проекции точек B и D на прямые IA и IC лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]