Задача 111715

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром I . Докажите, что проекции точек B и D на прямые IA и IC лежат на одной окружности.

Решение

Очевидно, что середина отрезка BD равноудалена от проекций точек B и D на любую прямую. Докажем, что она равноудалена и от проекций X , Y точки B на IA и IC . Так как BXI= BYI=90^o , точки X , Y лежат на окружности с диаметром BI , т.е. серединный перпендикуляр к отрезку XY проходит через середину BI . Таким образом достаточно доказать, что XY ID . Действительно, в этом случае серединный перпендикуляр к XY будет совпадать со средней линией треугольника BDI и, значит, пройдет через середину BD . Так как точки B , I , X , Y лежат на одной окружности, угол между XY и XA равен углу иежду BY и BI , т.е. BIC-90^o . Следовательно, угол между XY и ID равен AID+ BIC-90^o=90^o .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2008
тур
задача
Номер	10