ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 115359  (#06.4.10.3)

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Вспомогательная окружность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD , BE и CF , пересекающиеся в точке I . Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает прямые BE и CF в точках M и N соответственно. Докажите, что точки A , I , M и N лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 115360  (#06.4.10.4)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a5 делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115361  (#06.4.10.5)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Ненулевые числа a, b, c таковы, что  ax² + bx + c > cx  при любом x. Докажите, что  cx² – bx + a > cx – b  при любом x.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115362  (#06.4.10.6)

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Прямые, касающиеся окружности ω в точках B и D, пересекаются в точке P. Прямая, проходящая через P, высекает на окружности хорду AC. Через точку отрезка AC проведена прямая, параллельная BD. Докажите, что она делит длины ломаных ABC и ADC в одинаковых отношениях.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115363  (#06.4.10.7)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Арифметические действия. Числовые тождества ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .