ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115361
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Ненулевые числа a, b, c таковы, что  ax² + bx + c > cx  при любом x. Докажите, что  cx² – bx + a > cx – b  при любом x.


Решение

Дискриминант трёхчлена  P(x) = ax² + (b – c)x + c  отрицателен:  D = (b – c)² – 4ac = b² + c² – 2bc – 4ac < 0.  Кроме того,  c = P(0) > 0.  Значит, у трёхчлена  Q(x) = cx² – (b + c)x + (a + b)  положителен старший коэффициент, а его дискриминант
D' = (b + c)² – 4c(a + b) = b² + c² + 2bc – 4ac – 4bc = D  отрицателен. Это значит, что  Q(x) > 0  при всех действительных x, что и требовалось.

Замечания

Другое решение можно получить, заметив, что   

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2009-2010
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 06.4.10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .