ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 115364  (#06.4.10.8)

Темы:   [ Раскладки и разбиения ]
[ Замощения костями домино и плитками ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Производящие функции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Храмцов Д.

Назовём лестницей высоты n фигуру, состоящую из всех клеток квадрата n×n, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4). Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты n на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115349  (#06.4.11.1)

Темы:   [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Каждый катет прямоугольного треугольника увеличили на единицу. Могла ли его гипотенуза увеличиться более, чем на   ?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115350  (#06.4.11.2)

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Четность и нечетность ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Храмцов Д.

В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса каждых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115351  (#06.4.11.3)

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AC. Точки K и M – проекции вершин A и C соответственно на прямую BD. Через точку K проведена прямая, параллельная BC и пересекающая AC в точке P. Докажите, что угол KPM – прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115352  (#06.4.11.4)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Назовём тройку натуральных чисел  (a, b, cквадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка  (c, b, a)  новой тройкой не считается.)

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .